Question

如圖，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y=

m

x

的圖象的兩個交點．
（1）求直線AB與x軸的交點C的坐標及△AOB的面積；
（2）在x軸上是否存在一點P，使得PB-PA的值最大？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）當點Q在雙曲線上運動時，作以OA、OQ為鄰邊的平行四邊形，求平行四邊形周長最小時點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）利用xy=m求出反比例函數解析式，進而利用待定系數法求一次函數解析式，再求出圖象與x軸交點坐標，進而得出三角形面積；
（2）作B點關于x軸對稱點B′，連接AB′，直線AB′與x軸交點即為P點，此時PB-PA最大，進而利用待定系數法求一次函數解析式求出圖象與x軸交點坐標即可；
（3）利用當橫縱坐標的絕對值相等時OQ長度最短，平行四邊形周長最小，進而求出即可．

解答：解：（1）∵A（-4，n），B（2，-4）是一次函數y=kx+b的圖象和反比例函數y=

m

x

的圖象的兩個交點，
∴m=2×（-4）=-8，
∴反比例函數y=-

8

x

，
∴-4n=-8，
解得：n=2，
將A（-4，2），B（2，-4）代入一次函數y=kx+b得：

-4k+b=2 2k+b=-4

，
解得：

k=-1 b=-2

，
∴直線AB的解析式為：y=-x-2，
當y=0時，x=-2，
∴直線AB與x軸的交點C的坐標為：C（-2，0），
∴S_△AOB=

1

2

×2×2+

1

2

×2×4=6；

（2）存在，作B點關于x軸對稱點B′，連接AB′，直線AB′與x軸交點即為P點，此時PB-PA最大．
∵B（2，-4），∴B′（2，4），
將A，B′代入y=ax+k得：

2a+k=4 -4a+k=2

，
解得：

a= 1 3 b= 10 3

，
∴y=

1

3

x+

10

3

，
當y=0時，x=-10，
∴P（-10，0）；

（3）作以OA、OQ為鄰邊的平行四邊形，當橫縱坐標的絕對值相等時OQ長度最短，平行四邊形周長最小，
∴x²=8，
解得：x=±2

2

，
∴Q （-2

2

，2

2

）或Q（2

2

，-2

2

）．

點評：此題主要考查了待定系數法求一次函數解析式和反比例函數解析式以及三角形面積求法和利用軸對稱求線段最值等知識，利用數形結合得出是解題關鍵．