Question

【題目】綜合與探究

幻方的歷史很悠久，傳說中最早出現在夏禹時代的“洛書”，用今天的數學符號翻譯出來，就是一個三階幻方，即將若干個數組成一個正方形數陣，任意一行、一列及對角線上的數字之和都相等.如圖1，就是一個三階幻方，由1,2,3,4,5,6,7,8,9九個數字組成的一個三行三列的矩陣(如圖)，其對角線、橫行、縱向的和都為15.

(1)探究：研究發現三階幻方中間的數字與9個數的和有確定的數量關系.如果設數字連續性三階幻方中間的數字是a，則幻方中9個數字之和是 （用含a的字母代數式表示）

(2)應用：請你選取一組數據構造一個三階幻方，填入到如圖2的3×3方格中，使得每行、每列、每條對角線上的三個數之和都等于21；

(3)拓展：

數陣是由幻方演化出來的另一種數字圖.將連續的奇數1，3，5，7，9…排列成數陣（如圖3），用十字框隨機框出5個數，十字框中的五數之和能等于2020嗎？并說明理由

Answer 1

【答案】（1）9a；（2）詳見解析；（3）十字框中五個數字之和不能等于2020.

【解析】

(1) 依據題意可得中心數為a，任意一行、一列及對角線上的數字之和都為3a，即可求出總和.

(2) 根據幻和為21，求出中心數為7，任意一行、一列及對角線上的數字之和為21，即可寫出其余各點.

(3) 設十字框中最中間一個數為，依據題意列方程求出，為偶數，但題意應為奇數，故不能.

綜合與探究：

(1) 數字連續性三階幻方中間的數字是a，任意一行、一列及對角線上的數字之和都為3a 所以幻方中9個數字之和是9a.

(2)符合要求均可給分，如

6	11	4
5	7	9
10	3	8

(3)十字框中五個數字之和不能等于2020

理由：設十字框中最中間一個數為，由題意得

由題意可知，x應為奇數

所以十字框中五個數字之和不能等于2020.