Question

（2012•黃石）已知甲同學手中藏有三張分別標有數字

1

2

，

1

4

，1的卡片，乙同學手中藏有三張分別標有1，3，2的卡片，卡片外形相同．現從甲乙兩人手中各任取一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．
（1）請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．
（2）現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎？請你用概率知識解釋．

Answer 1

分析：（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；
（2）利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．

解答：解：（1）畫樹狀圖得：
∵（a，b）的可能結果有（

1

2

，1）、（

1

2

，3）、（

1

2

，2）、（

1

4

，1）、（

1

4

，3）、（

1

4

，2）、（1，1）、（1，3）及（1，2），
∴（a，b）取值結果共有9種；            …（4分）

（2）∵當a=

1

2

，b=1時，△=b²-4ac=-1＜0，此時ax²+bx+1=0無實數根，
當a=

1

2

，b=3時，△=b²-4ac=7＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=

1

2

，b=2時，△=b²-4ac=2＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=

1

4

，b=1時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數根，
當a=

1

4

，b=3時，△=b²-4ac=8＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=

1

4

，b=2時，△=b²-4ac=3＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=1時，△=b²-4ac=-3＜0，此時ax²+bx+1=0無實數根，
當a=1，b=3時，△=b²-4ac=5＞0，此時ax²+bx+1=0有兩個不相等的實數根，
當a=1，b=2時，△=b²-4ac=0，此時ax²+bx+1=0有兩個相等的實數根，…（2分）
∴P（甲獲勝）=P（△＞0）=

5

9

＞P（乙獲勝）=

4

9

，…（1分）
∴這樣的游戲規則對甲有利，不公平．…（1分）

點評：本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．