Question

【題目】如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，過點DE∥AB，分別交AC、BC于F、E，設 = ， = ．求：
（1）向量 （用向量 、 表示）；
（2）tanB的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，

∴AC平分∠DCB，

∴∠DCA=∠ACB，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=DC，

∵DE∥AB，AB⊥AC，

∴DE⊥AC，

∴AF=CF，

∴BE=CE，

∵AD∥BC，DE∥AB，

∴四邊形ABED是平行四邊形，

∴DE=AB，

∴ = = ， = = ，

∴ = + ．

（2）解：∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，

∴△DFC∽△BAC，

∴ = = ，

∵CD=AD=3，∴BC=6，

在Rt△BAC中，∠BAC=90°，

∴AC= = =2 ，

∴tanB= = = ．

【解析】（1）首先證明四邊形ABED是平行四邊形，推出DE=AB，推出 = = ， = = ， = + ．（2）由△DFC∽△BAC，推出 = = ，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根據AC= = =2 ，由tanB= ，即可解決問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用梯形的定義和解直角三角形的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．