Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線y＝x2+kx+c的圖象經過點C（0，1），當x＝2時，函數有最小值．

（1）求拋物線的解析式；

（2）直線l⊥y軸，垂足坐標為（0，﹣1），拋物線的對稱軸與直線l交于點A．在x軸上有一點B，且AB＝，試在直線l上求異于點A的一點Q，使點Q在△ABC的外接圓上；

（3）點P（a，b）為拋物線上一動點，點M為坐標系中一定點，若點P到直線l的距離始終等于線段PM的長，求定點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x+1； （2）Q（1，﹣1）；（3）M（2，1）

【解析】

（1）由已知可求拋物線解析式為y＝x2﹣x+1；

（2）由題意可知A（2，﹣1），設B（t，0），由AB＝，所以（t﹣2）2+1＝2，求出B（1，0）或B（3，0），當B（1，0）時，A、B、C三點共線，舍去，所以B（3，0），可證明△ABC為直角三角形，BC為外接圓的直徑，外接圓的圓心為BC的中點（，），半徑為，設Q（x，﹣1），則有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，即可求Q（1，﹣1）；

（3）設頂點M（m，n），P（a，b）為拋物線上一動點，則有b＝a2﹣a+1，因為P到直線l的距離等于PM，所以（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，可得+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，由a為任意值上述等式均成立，有，可求定點M的坐標．

解：（1）∵圖象經過點C（0，1），

∴c＝1，

∵當x＝2時，函數有最小值，即對稱軸為直線x＝2，

∴，解得：k＝﹣1，

∴拋物線解析式為y＝x2﹣x+1；

（2）由題意可知A（2，﹣1），設B（t，0），

∵AB＝，

∴（t﹣2）2+1＝2，

∴t＝1或t＝3，

∴B（1，0）或B（3，0），

∵B（1，0）時，A、B、C三點共線，舍去，

∴B（3，0），

∴AC＝2，BC＝，

∴∠BAC＝90°，

∴△ABC為直角三角形，BC為外接圓的直徑，外接圓的圓心為BC的中點（，），半徑為，

設Q（x，﹣1），則有（x﹣）2+（+1）2＝（）2，

∴x＝1或x＝2（舍去），

∴Q（1，﹣1）；

（3）設頂點M（m，n），∵P（a，b）為拋物線上一動點，

∴b＝a2﹣a+1，

∵P到直線l的距離等于PM，

∴（m﹣a）2+（n﹣b）2＝（b+1）2，

∴+（2n﹣2m+2）a+（m2+n2﹣2n﹣3）＝0，

∵a為任意值上述等式均成立，

∴，

∴，

此時m2+n2﹣2n﹣3＝0，

∴定點M（2，1）．