Question

（2010•綿陽）如圖，一副三角板拼在一起，O為AD的中點，AB=a．將△ABO沿BO對折于△A′BO，M為BC上一動點，則A′M的最小值為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據折疊的性質知AB=A′B=a；而O是Rt△ABD斜邊AD的中點，則有AO=OB，由此可證得△ABO是等邊三角形，那么∠A′BO=∠ABO=60°，進而可求出∠A′BM=15°；當A′M最小時，A′M⊥BC，此時△A′BM是直角三角形，取A′B的中點N，連接MN，那么∠A′NM=30°，A′N=MN=A′B=a；過M作A′B的垂線，設垂足為H，在Rt△MNH中，根據∠A′NM的度數即可表示出NH，MH的長，進而可求出A′H的長，即可在Rt△A′MH中，根據勾股定理求出A′M的長．
解答：解：由折疊的性質知：AB=A′B=a，∠ABO=∠A′BO；
∵O是Rt△ABD斜邊AD的中點，
∴OA=OB，即△ABO是等邊三角形；
∴∠ABO=∠A′BO=60°；
∵∠ABD=90°，∠CBD=45°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=135°，
∴∠A′BM=135°-120°=15°；
易知當A′M⊥BC時，A′M最短；
過M作MH⊥A′B于H，取A′B的中點N，連接MN，如右下圖；
在Rt△A′BM中，N是斜邊A′B的中點，則BN=NM=A′N=a，∠B=∠NMB=15°；
∴∠A′NM=30°；
∴MH=MN=a，
∴NH==a；
∴A′H=A′N-NH=a；
由勾股定理得：A′M===a．
點評：此題主要考查了折疊的性質、直角三角形的性質以及勾股定理的應用，能夠正確的構建出含特殊角的直角三角形是解答此題的關鍵．