Question

定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．
（1）如圖1，損矩形ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，則該損矩形的直徑是線段______．
（2）在線段AC上確定一點P，使損矩形的四個頂點都在以P為圓心的同一圓上（即損矩形的四個頂點在同一個圓上），請作出這個圓，并說明你的理由．友情提醒：“尺規作圖”不要求寫作法，但要保留作圖痕跡．
（3）如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向形外作菱形ACEF，D為菱形ACEF的中心，連接BD，當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由．若此時AB=3，BD=，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題中給出的定義，由于∠DAB和∠DCB不是直角，因此AC就是損矩形的直徑．
（2）根據直角三角形斜邊上中線的特點可知：此點應是AC的中點，那么可作AC的垂直平分線與AC的交點就是四邊形外接圓的圓心．
（3）本題可用面積法來求解，具體思路是用四邊形ABCD面積的不同表示方法來求解，四邊形ABCD的面積=三角形ABD的面積+三角形BCD的面積=三角形ABC的面積+三角形ADC的面積；三角形ABD的面積已知了AB的長，那么可過D作AB邊的高，那么這個高就應該是BD•sin45°，以此可得出三角形ABD的面積；三角形BDC的面積也可用同樣的方法求解，只不過AB的長，換成了BC；再看三角形ABC的面積，已知了AB的長，可用含BC的式子表示出ABC的面積；而三角形ACD的面積，可用正方形面積的四分之一來表示；而正方形的邊長可在直角三角形ABC中，用勾股定理求出．因此可得出關于BC的方程，求解即可得出BC的值．
解答：解：（1）只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．因此AC是該損矩形的直徑；

（2）作圖如圖：

∵點P為AC中點，
∴PA=PC=AC．
∵∠ABC=∠ADC=90°，
∴BP=DP=AC，
∴PA=PB=PC=PD，
∴點A、B、C、D在以P為圓心，AC為半徑的同一個圓上；

（3）∵菱形ACEF，
∴∠ADC=90°，AE=2AD，CF=2CD，
∴四邊形ABCD為損矩形，
∴由（2）可知，點A、B、C、D在同一個圓上．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴，
∴AD=CD，
∴四邊形ACEF為正方形．
∵BD平分∠ABC，BD=，
∴點D到AB、BC的距離h為4，
∴S_△ABD=AB×h=2AB=6，
S_△ABC=AB×BC=BC，
S_△BDC=BC×h=2BC，S_△ACD=S_{正方形ACEF}=AC²=（BC²+9），
∵S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=S_△ABD+S_△BCD
∴BC+（BC²+9）=6+2BC
∴BC=5或BC=-3（舍去），
∴BC=5．
點評：本題主要考查了菱形的性質，正方形的判定，圓的內接四邊形等知識點．（3）中如果無法直接求出線段的長，可通過特殊的三角形用面積法來求解．