Question

如圖，在三角形ABC中，AC=BC，若將△ABC沿BC方向向右平移BC長的距離，得到△CEF，連接AE．
（1）試猜想，AE與CF有何位置上的關系？并對你的猜想給予證明；
（2）若BC=10，tan∠ACB=時，求AB的長．

Answer 1

解：（1）AE⊥CF
證明：如圖，連接AF，
∵AC=BC，
又∵△ABC沿BC方向向右平移BC長的距離，
∴AC=CE=EF=AF．
∴四邊形ACEF是菱形．
∴AE⊥CF．

（2）如圖，作AD⊥BC于D
∵tan∠ACB=，
設AD=3KDC=4K，
在Rt△ADC中，AC=10，
∵AD²+DC²=AC²
∴K=2．
∴AD=6cm，DC=8cm．
∴BD=2cm．
在Rt△ADB中，根據勾股定理：AB=2c．
分析：（1）由平移可得，∠ACB=∠FEC，AC=CE=EF=AF，那么四邊形ACEF是菱形，由鄰邊相等可得到是菱形，所以對角線互相垂直；
（2）作出BC邊上高AD，利用AC，及tan∠ACB的值，求得AD，CD長，進而得到BD長，利用勾股定理求解即可．
點評：平移前后對應線段，對應角相等，作高構造已給三角函數所在的直角三角形是常用的輔助線作法．