Question

【題目】（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD，CE相交于點H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關系；并證明你的結論；

（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD，CE所在的直線相交于點H，請你判斷此時（1）中的等量關系是否仍然成立？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠BHC＝180-∠A；（2）∠BHC＝180-∠A．

【解析】試題分析：⑴由題易得∠ A+∠ ACE=90°，∠ ACE+∠DHC=90°，所以∠ A=∠ DHC，由圖可知，∠ DHC與∠ BHC互補，故∠ A與∠ BHC互補.

⑵由⑴可知，∠BHC=∠ EAC，由圖可知，∠ EAC與∠ BAC互補，所以∠ BHC與∠ BAC互補，故⑴中結論仍然成立.

試題解析：（1）∵BD⊥ AC ， ∴ ∠ ADB＝90°.

∵ CE⊥ AB ， ∴∠ AEC＝90°.

∵∠ A+∠ ADB+∠ AEC+∠ DHE＝360°，

∴∠ DHE＝ 360°-（∠ A+∠ ADB+∠ AEC）＝360°-（∠ A+90°+90°）＝180°-∠ A，

∴ ∠ BHC＝∠ DHE＝180°-∠ A.

（2） ∵ BD⊥ AC ，∴ ∠ ADH＝90°.

∵ CE⊥ AB ， ∴ ∠ AEH＝90°.

∵ ∠ DAE+∠ ADH+∠ AEH+∠ BHC＝360°，

∴ ∠ BHC＝360°-（∠ DAE+∠ ADH+∠ AEH）＝360°-（∠ DAE+90°+90°）＝180°-∠ DAE，

∴ ∠ BHC＝180°-∠ A.