Question

以△ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt△ABD和等腰Rt△ACE，∠BAD=∠CAE=90°，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點．探究：AM與DE的位置關系及數量關系．
（1）如圖①當△ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是

AM⊥DE

，線段AM與DE的數量關系是

DE=2AM

；
（2）將圖①中的等腰Rt△ABD繞點A沿逆時針方向旋轉θ°（0＜θ＜90）后，如圖②所示，（1）問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）ED=2AM，AM⊥ED．延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再結合已知條件可以證明△DAE≌△ABG，根據全等三角形的性質可以得到DE=2AM，∠BAG=∠EDA，再延長MG交DE于H，因為∠BAG+∠DAH=90°，所以∠HDA+∠DAH=90°這樣就證明了AM⊥ED；
（2）延長CA至F，使FA=AC，FA交DE于點P，并連接BF，證出△FAB≌△EAD，利用相似三角形的性質得到BF=DE，∠F=∠AEN，從而證出∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°，得到FB⊥DE，根據AM∥FB，可得到AM=

1

2

FB．

解答：（1）ED=2AM，AM⊥ED；
證明：延長AM到G，使MG=AM，連BG，則ABGC是平行四邊形，再延長MA交DE于H．
∴AC=BG，∠ABG+∠BAC=180°
又∵∠DAE+∠BAC=180°，
∴∠ABG=∠DAE．
再證：△DAE≌△ABG
∴DE=2AM，∠BAG=∠EDA．
延長MA交DE于H，
∵∠BAG+∠DAH=90°，
∴∠HDA+∠DAH=90°．
∴AM⊥ED．

（2）結論仍然成立．
證明：如圖，延長CA至F，使FA=AC，FA交DE于點P，并連接BF．
∵DA⊥BA，EA⊥AF，
∴∠BAF=90°+∠DAF=∠EAD．
∵在△FAB和△EAD中，

FA=AE ∠BAF=∠EAD BA=DA

∴△FAB≌△EAD（SAS）
∴BF=DE，∠F=∠AEN，
∴∠FPD+∠F=∠APE+∠AEN=90°．
∴FB⊥DE．
又∵CA=AF，CM=MB．
∴AM∥FB，且AM=

1

2

FB，
∴AM⊥DE，AM=

1

2

DE．

點評：本題考查了旋轉的性質和相似三角形的性質，利用旋轉不變性找到三角形全等的條件．此題綜合性較強，要注意觀察圖象的特點．