Question

24、如圖平行四邊形ABCD中，∠ABC=60°，點E、F分別在CD、BC的延長線上，AE∥BD，EF⊥BF，垂足為點F，DF=2
（1）求證：D是EC中點；
（2）求FC的長．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形的對邊平行可以得到AB∥CD，又AE∥BD，可以證明四邊形ABDE是平行四邊形，所以AB=DE，故D是EC的中點；
（2）連接EF，則△EFC是直角三角形，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可以得到△CDF是等腰三角形，再利用∠ABC=60°推得∠DCF=60°，所以△CDF是等邊三角形，FC=DF，FC的長度即可求出．

解答：（1）證明：在平行四邊形ABCD中，
AB∥CD，且AB=CD，
又∵AE∥BD，
∴四邊形ABDE是平行四邊形，
∴AB=DE，
∴CD=DE，
即D是EC的中點；

（2）連接EF，∵EF⊥BF，
∴△EFC是直角三角形，
又∵D是EC的中點，
∴DF=CD=DE=2，
在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，
∵∠ABC=60°，
∴∠ECF=∠ABC=60°，
∴△CDF是等邊三角形，
∴FC=DF=2．
故答案為：2．

點評：本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊三角形的判定，熟練掌握性質定理并靈活運用是解題的關鍵，（2）中連接EF構造出直角三角形比較重要．