Question

已知角A是銳角，且tanA、cotA是關于x的一元二次方程x²+2kx+k²-3=0的兩個實數根．
（1）求k的值；
（2）問：角A能否等于45°？請說明你的理由．

Answer 1

解：（1）依題意得tanA•cotA=k²-3，
即1=k²-3，k²=4，
∴k=±2．
由∠A是銳角知tanA＞0，cotA＞0．
∴2k=-（tanA+cotA）＜0，
即k＜0，
∴k=-2，
此時方程的根的判別式△=（-4）²-4[（-2）²-3]=12＞0，
所以方程有實數根，
∴k=-2；

（2）若A=45°，則tanA=cotA=1，
將x=1代入方程x²-4x+4-3=0，
左邊=1-4+1=-4≠0
∴1不是方程的根，
∴A不能取45°．
分析：（1）根據tanA•cotA=1和根與系數的關系x₁•x₂=，列出關于k的方程求解，注意角A是銳角，所以tanA＞0，cotA＞0，
所以x₁+x₂=＜0，然后可以確定k的值；
（2）若A=45°，則tanA=cotA=1，即方程的解是x=1，代入方程x²-4x+4-3=0的左右兩邊不相等，即1不是方程的解，說明A不能取45°．
點評：本題考查一元二次方程根與系數的關系及根的判別式．