Question

（2009•江西）如圖，已知線段AB=2a（a＞0），M是AB的中點，直線l₁⊥AB于點A，直線l₂⊥AB于點M，點P是l₁左側一點，P到l₁的距離為b（a＜b＜2a）．
（1）作出點P關于l₁的對稱點P₁，并在PP₁上取一點P₂，使點P₂、P₁關于l₂對稱；
（2）PP₂與AB有何位置關系和數量關系，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：P，P₁關于l₁對稱，那么PP₁⊥l₁，ab⊥l₁，那么PP₁∥AB，即PP₂∥AB．∵∠O₁O₂M=∠O₂MA=∠O₁AM=∠AO₁O₂=90°，四邊形O₁O₂MA是矩形，那么AM=O₁O₂=AB=a，P，P₁關于l₁對稱，P，P₂關于l₂對稱，那么PO₁=O₁O₁=b，然后用a，b分別表示出P₂O₁，再得出PP₂是多少，然后再判定PP₂和AB的大小關系．
解答：解：（1）如圖；

（2）PP₂與AB平行且相等．
證明：設PP₁分別交l₁、l₂于點O₁、O₂，
∵P、P₁關于l₁對稱，點P₂在PP₁上，
∴PP₂⊥l₁
又∵AB⊥l₁
∴PP₂∥AB
∵l₁⊥AB，l₂⊥AB
∴l₁∥l₂
∴四邊形O₁AMO₂是矩形
∴O₁O₂=AM=a
∴P、P₁關于l₁對稱，P₁O₁=PO₁=b
∵P₁、P₂關于l₂對稱
∴P₂O₂=P₁O₂=P₁O₁-O₁O₂=b-a
∴PP₂=PP₁-P₁P₂=PP₁-2P₂O₂=2b-2（b-a）=2a
∴PP₂AB．
點評：本題主要考查了軸對稱及矩形的判定等知識點，其中判定四邊形O₁O₂MA是矩形是本題的解題關鍵．