Question

【題目】如圖，在邊長為8的等邊△BCD中，DF⊥BC于點F，點A為射線DF上一動點，以B為旋轉中心，把BA順時針方向旋轉60°至BE，連接EC．

（1）當點A在線段DF的延長線上時，求證：DA＝CE；

（2）當∠DEC＝45°時，連接AC，求四邊形ABDC的面積；

（3）連接EF，當EF取得最小值時，線段AB的長是多少？（只寫答案，不要過程）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）32；（3）.

【解析】

（1）根據旋轉的性質、等邊三角形的性質由SAS證明△BAD≌△BEC即可得出結論；

（2）先證明∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝90°，由∠DEC＝45°，證得△DCE是等腰直角三角形，從而可得CE的長，即為DA的長，進一步即可得出結果；

（3）由前面的結論知：在點A運動的過程中，始終保持∠BCE＝30°不變，即點E在射線CE上運動，于是當EF⊥CE時，EF取得最小值，過點E作EG⊥BC于點G，如圖2所示，利用30°的直角三角形的性質和勾股定理可求出BE的長，即為AB的長，問題即得解決.

（1）證明：∵把BA順時針方向旋轉60°至BE，

∴BA＝BE，∠ABE＝60°，

在等邊△BCD中，DB＝BC，∠DBC＝60°，

∴∠DBA＝∠DBC+∠FBA＝60°+∠FBA，

∵∠CBE＝60°+∠FBA，

∴∠DBA＝∠CBE，

在△BAD和△BEC中，∵BA＝BE，∠DBA＝∠CBE，DB＝BC ，

∴△BAD≌△BEC（SAS），

∴DA＝CE；

（2）解：如圖1所示：∵DB＝DC，DA⊥BC，

∴∠BDA＝∠BDC＝30°，

∵△BAD≌△BEC，∴∠BCE＝∠BDA＝30°，

在等邊△BCD中，∵∠BCD＝60°，

∴∠DCE＝∠BCE+∠BCD＝30°+60°＝90°，

∵∠DEC＝45°，

∴△DCE是等腰直角三角形，

∴CE＝CD＝8，

由（1）得：DA＝CE，

∴DA＝CE＝8，

∵DF⊥BC，

∴四邊形ABDC的面積＝BC×AD＝×8×8＝32；

（3）由（2）知∠BCE＝∠BDA＝30°，

∴在點A運動的過程中，始終保持∠BCE＝30°不變，即點E在射線CE上運動，

∴當EF⊥CE時，EF取得最小值，過點E作EG⊥BC于點G，如圖2所示：

∵△BCD是等邊三角形，DF⊥BC，

∴BF＝CF＝BC＝4，

∵∠BCE＝∠FEG＝30°，

∴EF＝CF＝2，

∴FG＝EF＝1，EG＝EF＝，

∴，

∴，

∴.