Question

已知一次函數y=x+2的圖象分別交x軸，y軸于A、B兩點，⊙O₁過以OB為邊長的正方形OBCD的四個頂點，兩動點P、Q同時從點A出發在四邊形ABCD上運動，其中動點P以每秒

2

個單位長度的速度沿A→B→A運動后停止；動點Q以每秒2個單位長度的速度沿A→O→D→C→B運動，AO₁交y軸于E點，P、Q運動的時間為t（秒）．
（1）直接寫出E點的坐標和S_△ABE的值；
（2）試探究點P、Q從開始運動到停止，直線PQ與⊙O₁有哪幾種位置關系，并指出對應的運動時間t的范圍；
（3）當Q點運動在折線AD→DC上時，是否存在某一時刻t使得S_△APQ：S_△ABE=3：4？若存在，請確定t的值和直線PQ所對應的函數解析式；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）由題意知，A（-2，0），B（0，2），
∴OB=OD=2，
∴O₁（1，1），
設AO₁的直線的解析式為y=kx+b，則有0=-2k+b，1=k+b，
解得：b=

2

3

，k=

1

3

，
∴y=

1

3

x+

2

3

，
∴E（0，

2

3

），
∴BE=

4

3

，
S_△ABE=

1

2

OA•BE=

4

3

；

（2）直線PQ與⊙O₁有三種位置關系，分別是相離，相切，相交，
當PQ與⊙O₁相離，0＜t＜1；
當PQ與⊙O₁相切時，t=1或t=4；
當PQ與⊙O₁相交時，4＞t＞1；

（3）①Q點運動在折線AD上時，當點Q運動到原點，即Q（0，0）時，點P的坐標為（-1，1），
S_△APQ=1，且滿足S_△APQ：S_△ABE=3：4，此時t=1，直線PQ所對應的函數解析式y=-x．
②Q點運動在折線DC上時，P到了BA方向，根據已知得A（-2，0），B（0，2），
∴OA=2，OB=2，AB=2

2

，OD=OB=2，
O₁（1，1），此時P，Q的位置如圖，過P作PM⊥AD于M，P運動的路程為

2

t，
∴PB=

2

t-AB=

2

t-2

2

，
∴AP=AB-PB=4

2

-

2

t，而△APM為等腰直角三角形，
∴PM=AM=4-t，Q運動的路程為2t，
∴QD=2t-OA-OD=2t-4，
而S_△APQ=S_△APM+S_{四邊形PMDQ}-S_△ADQ，
S_△APM+S_{四邊形PMDQ}=

1

2

×PM×AM+

1

2

(PM+QD)×MD=t²-4t+8，
S_△ADQ=

1

2

AD×QD=4t-8，
∴S_△APQ=t²-8t+16，若S_△APQ：S_△ABE=3：4，而S_△ABE=

4

3

，
∴S_△APQ=1，
∴1=t²-8t+16，
∴t=3或t=5，當t=5時，Q在BC上，不符合題意，舍去，
∴AM=1=PM，
∴OM=1，P（-1，1），
QD=2，∴Q在C點處，
∴Q（2，2），
設直線PQ的函數解析式為y=kx+b，
∴

1=-k+b 2=2k+b

，
∴k=

1

3

，b=

4

3

，
∴y=

1

3

x+

4

3

．