Question

（2010•巴中）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°，以AB所在直線為x軸，過c點的直線為y軸建立平面直角坐標系．此時，A點坐標為（-1，0），B點坐標為（4，0）
（1）試求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax²+bx+c過△ABC的三個頂點，求拋物線的解析式；
（3）點D（1，m）在拋物線上，過點A的直線y=-x-1交（2）中的拋物線于點E，那么在x軸上點B的左側(cè)是否存在點P，使以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在Rt△ABC中，OC⊥AB，根據(jù)射影定理即可求出OC的長，由此得到C點的坐標；
（2）將A、B、C三點坐標代入拋物線的解析式中，即可求出待定系數(shù)的值，從而確定其解析式；
（3）根據(jù)拋物線的解析式，易求得D（1，3）；聯(lián)立直線AE的解析式即可求得E點的坐標，此時可發(fā)現(xiàn)∠OBD和∠EAB同為45°，對應(yīng)相等，若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，可考慮兩種情況：
①△PBD∽△BAE，②△PBD∽△EAB；根據(jù)上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出BP的長，從而確定P點的坐標．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OC⊥AB，
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，即OC=2，
∴C（0，2）；

（2）∵拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4）（a≠0），則有：
2=a（0+1）（0-4），a=-，
∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+x+2；

（3）存在符合條件的P點，且P（，0）或（-，0）．
根據(jù)拋物線的解析式易知：D（1，3），
聯(lián)立直線AE和拋物線的解析式有：
，
解得，，
∴E（6，-7），
∴tan∠DBO==1，即∠DBO=45°，tan∠EAB==1，即∠EAB=45°，
∴∠DBA=∠EAB，
若以P、B、D為頂點的三角形與△ABE相似，則有兩種情況：
①△PBD∽△BAE；②△PBD∽△EAB．
易知BD=3，EA=7，AB=5，
由①得：，即，即PB=，OP=OB-PB=，
由②得：，即，即P′B=，OP′=OB-BP′=-，
∴P（，0）或（-，0）．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、二次函數(shù)解析式的確定以及相似三角形的判定和性質(zhì)，要注意當(dāng)相似三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角不確定的情況下需要分類討論，以免漏解．