Question

如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．
（1）求證：點E是

BD

的中點；
（2）求證：CD是⊙O的切線；
（3）若sin∠BAD=

4

5

，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

分析：（1）根據AD∥OC可得∠A=∠COB，從而判定

DE

=

BE

；
（2）連接OD，只要證明∠CDO=90°即可；
（3）在△ADG中用勾股定理求解．

解答：（1）證明：連接OD；
∵AD∥OC，
∴∠A=∠COB；（1分）
∵∠A=

1

2

∠BOD，
∴∠BOC=

1

2

∠BOD；
∴∠DOC=∠BOC；
∴

DE

=

BE

，
則點E是

BD

的中點；（2分）

（2）證明：如圖所示：
由（1）知∠DOE=∠BOE，（1分）
∵CO=CO，OD=OB，
∴△COD≌△COB；（2分）
∴∠CDO=∠B；
又∵BC⊥AB，
∴∠CDO=∠B=90°；
∴CD是⊙O的切線；（3分）

（3）解：在△ADG中，∵sinA=

DG

AD

=

4

5

，
設DG=4x，AD=5x；
∵DF⊥AB，
∴AG=3x；（1分）
又∵⊙O的半徑為5，
∴OG=5-3x；
∵OD²=DG²+OG²，
∴5²=（4x）²+（5-3x）²；（2分）
∴x₁=

6

5

，x₂=0；（舍去）
∴DF=2DG=2×4x=8x=8×

6

5

=

48

5

（3分）．

點評：本題考查了圓周角的性質，切線的判定和勾股定理的運用．