Question

【題目】如圖1，在菱形ABCD中，AB=，tan∠ABC=2，點E從點D出發，以每秒1個單位長度的速度沿著射線DA的方向勻速運動，設運動時間為t（秒），將線段CE繞點C順時針旋轉一個角α（α=∠BCD），得到對應線段CF．

（1）求證：BE=DF；

（2）當t= 秒時，DF的長度有最小值，最小值等于 ；

（3）如圖2，連接BD、EF、BD交EC、EF于點P、Q，當t為何值時，△EPQ是直角三角形？

（4）如圖3，將線段CD繞點C順時針旋轉一個角α（α=∠BCD），得到對應線段CG．在點E的運動過程中，當它的對應點F位于直線AD上方時，直接寫出點F到直線AD的距離y關于時間t的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），12；（3）t=6或t=；（4）．

【解析】

試題分析：（1）由∠ECF=∠BCD得∠DCF=∠BCE，結合DC=BC、CE=CF證△DCF≌△BCE即可得；

（2）當點E運動至點E′時，由DF=BE′知此時DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；

（3）①∠EQP=90°時，由∠ECF=∠BCD、BC=DC、EC=FC得∠BCP=∠EQP=90°，根據AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2即可求得DE；

②∠EPQ=90°時，由菱形ABCD的對角線AC⊥BD知EC與AC重合，可得DE=；

（4）連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，證△DCE≌△GCF可得∠3=∠4=∠1=∠2，即GF∥CD，從而知四邊形CDMN是平行四邊形，由平行四邊形得MN=CD=；再由∠CGN=∠DCN=∠CNG知CN=CG=CD=，根據tan∠ABC=tan∠CGN=2可得GM=+12，由GF=DE=t得FM=t﹣﹣12，利用tan∠FMH=tan∠ABC=2即可得FH．

試題解析：（1）∵∠ECF=∠BCD，即∠BCE+∠DCE=∠DCF+∠DCE，∴∠DCF=∠BCE，∵四邊形ABCD是菱形，∴DC=BC，在△DCF和△BCE中，∵CF=CE，∠DCF=∠BCE，CD=CB，∴△DCF≌△BCE（SAS），∴DF=BE；

（2）如圖1，當點E運動至點E′時，DF=BE′，此時DF最小，在Rt△ABE′中，AB=，tan∠ABC=tan∠BAE′=2，∴設AE′=x，則BE′=2x，∴AB=x=，則AE′=6，∴DE′=+6，DF=BE′=12，故答案為：，12；

（3）∵CE=CF，∴∠CEQ＜90°，①當∠EQP=90°時，如圖2①，∵∠ECF=∠BCD，BC=DC，EC=FC，∴∠CBD=∠CEF，∵∠BPC=∠EPQ，∴∠BCP=∠EQP=90°，∵AB=CD=，tan∠ABC=tan∠ADC=2，∴DE=6，∴t=6秒；

②當∠EPQ=90°時，如圖2②，∵菱形ABCD的對角線AC⊥BD，∴EC與AC重合，∴DE=，∴t=秒；

綜上所述：t=6或t=.

（4）.如圖3，連接GF分別角直線AD、BC于點M、N，過點F作FH⊥AD于點H，由（1）知∠1=∠2，又∵∠1+∠DCE=∠2+∠GCF，∴∠DCE=∠GCF，在△DCE和△GCF中，∵EC=FC，∠DCE=∠GCF，DC=GC，∴△DCE≌△GCF（SAS），∴∠3=∠4，∵∠1=∠3，∠1=∠2，∴∠2=∠4，∴GF∥CD，又∵AH∥BN，∴四邊形CDMN是平行四邊形，∴MN=CD=，∵∠BCD=∠DCG，∴∠CGN=∠DCN=∠CNG，∴CN=CG=CD=，∵tan∠ABC=tan∠CGN=2，∴GN=12，∴GM=+12，∵GF=DE=t，∴FM=t﹣﹣12，∵tan∠FMH=tan∠ABC=2，∴FH=（t﹣﹣12），即．