Question

如圖，已知：AB為⊙O的直徑，AB=6

3

，弧AC=

1

3

弧AB，過B點的切線與AC的延長線交于點D．
（1）求OD的長；
（2）若P是AD上的任意一點（不與A、D重合），設PD=x，求△POD的面積y與x的函數關系式，并指出x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）連接OC，由弧AC=

1

3

弧AB，根據等弧對等角得到∠AOC為60°，又OC=OA，則三角形AOC為等邊三角形，得到∠A為60°，在直角三角形ABD中，由銳角三角函數的定義得到tanA等于DB比AB，由tanA和AB的值，求出DB的值，由根據半徑OB為直徑AB的一半求出OB的長，在直角三角形OBD中，利用勾股定理求出OD的長即可；
（2）過O作OE垂直于AC，即為三角形OPD中PD邊上的高，根據等邊三角形的性質得到E為AC中點，由AC的長求出AE的長，在直角三角形AEO中，由OA和AE的長，利用勾股定理求出OE的長，利用PD乘以OE的一半即可表示出三角形OPD的面積，得到y與x的關系式，由三角形ABD為直角三角形，且∠ADB為30°，由AB的長，根據直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD的長，即得到x的范圍．

解答：解：（1）連接OC．
∵弧AC=

1

3

弧AB，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=60°，
又OA=OC，
∴△ACO為等邊三角形，
∴∠A=60°，
又BD為半圓的切線，
∴BD⊥AB，即∠ABD=90°，
又AB=6

3

，
在Rt△ABD中，tanA=

DB

AB

，
∴BD=ABtan60°=6

3

×

3

=18，
∴∠ADB=30°，
∴AD=2AB=12

3

，
又半徑OB=

1

2

AB=3

3

，
在Rt△OBD中，根據勾股定理得：
OD=

BD2+OB2

=

182+(3 3 )2

=3

39

；

（2）過O作OE⊥AC，交AC于點E．
∵△ACO為等邊三角形，
∴AE=CE=

1

2

AC=

3 3

2

，又AO=3

3

，
在Rt△AEO中，根據勾股定理得：OE=

(3 3 )2-( 3 3 2 )2

=

9

2

，
則三角形OPD的面積y=

1

2

PD•OE=

1

2

x•

9

2

=

9

4

x，且0＜x＜12

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，切線的性質，勾股定理，圓周角定理，以及銳角三角函數定義，此類題的綜合性比較強，要求學生掌握知識全面，借助圖形，多次利用轉化的思想來求解，培養了學生分析問題，解決問題的能力．