Question

已知雙曲線y=與直線y=相交于A、B兩點(diǎn)．第一象限上的點(diǎn)M（m，n）（在A點(diǎn)左側(cè)）是雙曲線y=上的動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)B作BD∥y軸交x軸于點(diǎn)D．過N（0，﹣n）作NC∥x軸交雙曲線y=于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)C．

（1）若點(diǎn)D坐標(biāo)是（﹣8，0），求A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)及k的值；

（2）若B是CD的中點(diǎn)，四邊形OBCE的面積為4，求直線CM的解析式；

（3）設(shè)直線AM、BM分別與y軸相交于P、Q兩點(diǎn)，且MA=pMP，MB=qMQ，求p﹣q的值．

 

Answer 1

【答案】

（1）A（8，2） B（﹣8，﹣2）  16 （2） （3）-2

【解析】

試題分析：（1）將D的坐標(biāo)可得B的橫坐標(biāo)，代入解析式可得B的坐標(biāo)，又有A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，易得k的值；

（2）根據(jù)題意B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，可得BCD的坐標(biāo)關(guān)于mn的表達(dá)式，進(jìn)而可以表示出矩形的面積；代入數(shù)據(jù)可得答案；

（3）分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣a，易得pq關(guān)于a的關(guān)系式，作p﹣q可得p﹣q=．

解：（1）∵D（﹣8，0），

∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣8，代入y=x中，得y=﹣2，

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣8，﹣2），

而A、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴A（8，2），

∴k=8×2=16；

（2）∵N（0，﹣n），B是CD的中點(diǎn)，A、B、M、E四點(diǎn)均在雙曲線上，

∴mn=k，B（﹣2m，﹣），C（﹣2m，﹣n），E（﹣m，﹣n），

∴S_矩形DCNO=2mn=2k，

∴S_△DBO=mn=k，

∴S_△OEN=，

∴S_{四邊形OBCE}=S_矩形DCNO﹣S_△DBO﹣S_△OEN=k，

∴k=4，

由直線y=x及雙曲線，得A（4，1），B（﹣4，﹣1），

∴C（﹣4，﹣2），M（2，2），

設(shè)直線CM的解析式是y=ax+b，

由C、M兩點(diǎn)在這條直線上，得，

解得，

∴直線CM的解析式是；

（3）如圖1，分別作AA₁⊥x軸，MM₁⊥x軸，垂足分別為A₁、M₁，

設(shè)A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為a，則B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣a，

于是p=，

同理，

∴p﹣q=．

本題也可用相似求解，如圖，酌情給分．

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題．

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了反比例函數(shù)，正比例函數(shù)等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈活應(yīng)用．