Question

已知：如圖①，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC= 4cm，BC=3cm，點P由B 出發沿BA方向向點A勻速運動，速度為1cm/s；點Q由A出發沿AC方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；連接PQ．若設運動的時間為t(s)(0<t<2)，解答下列問題：
（1）當t為何值時，QP∥BC ？
（2）設AQP 的面積為y(cm²) ，求y與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB 的周長和面積同時平分？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由；
（4）如圖②，連接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP'C ，那么是否存在某一時刻t ，使四邊形PQP'C為菱形？若存在，求出此時菱形的邊長；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中， 由題意知：AP = 5-t，AQ = 2t 若PQ∥BC，則△APQ ∽△ABC ∴,∴ ∴  所以當時 ，PQ∥BC （2）過點P作PH⊥AC于H． ∵△APH ∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴ （3）若PQ把△ABC周長平分，則AP+AQ=BP+BC+CQ． ∴ ， 解得 若PQ把△ABC面積平分，則，即-+3t=3 ∵ t=1代入上面方程不成立， ∴不存在這一時刻t，使線段PQ把Rt△ACB的周長和面積同時平分． （4）過點P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N， 若四邊形PQP'C是菱形，那么PQ=PC． ∵PM⊥AC于M， ∴QM=CM． ∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC． ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 解得 ∴當時，四邊形PQP'C 是菱形 此時， 在Rt△PMC中， ∴菱形PQP'C邊長為