Question

如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，過點C的直線與AB的延長線交于點P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）求證：BC=AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證PC是⊙O的切線，直線證明OC⊥PC即可；
（2）利用“直角△ACB的斜邊上的中線等于斜邊的一半”推知OC=AB；然后根據等腰△APC的性質，三角形外角的性質證得OC=BC，則BC=AB．
解答：證明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA．
又∵∠COB為△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵點C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切線；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
又∵點O是斜邊AB的中點，
∴OC=AB．
∵AC=PC，
∴∠A=∠P．
又由（1）知，∠OCA=∠PCB，
∴∠COB=∠OBC，
∴OC=BC=AB，即BC=AB．
點評：此題考查了切線的判定，等腰三角形的性質，圓周角定理，相似三角形的判定與性質，以及三角形的外角性質，利用了轉化及等量代換的思想，其中切線的判定方法有兩種：有點連接證明垂直；無點作垂線證明垂線段等于半徑．