Question

已知二次函數y=ax²-2ax-3a（a＞0）．
（1）求此二次函數圖象與x軸交點A、B（A在B的左邊）的坐標；
（2）若此二次函數圖象與y軸交于點C、且△AOC∽△COB（字母依次對應）．
①求a的值；
②求此時函數圖象上關于原點中心對稱的兩個點的坐標．

Answer 1

（1）令ax²-2ax-3a=0（1分）
解得x₁=-1，x₂=3（2分）
所以A（-1，0），B（3，0）．（1分）
（2）①易知C（0，-3a），由△AOC∽△COB，（1分）
則

OA

OC

=

OC

OB

，即

1

3a

=

3a

3

，（2分）
解得a=

3

3

（舍負）．（1分）
②此時函數解析式為y=

3

3

x2-

2 3

3

x-

3

，
設函數圖象上兩點(t，

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

)，(-t，

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
由兩點關于原點中心對稱，得：

3

3

t2-

2 3

3

t-

3

=-(

3

3

(-t)2-

2 3

3

(-t)-

3

)（1分）
解得t=±

3

，（1分）
∴這兩個點的坐標為(

3

，-2)與(-

3

，2)．（1分）