Question

（2011•裕華區一模）如圖1，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，點E從點A出發沿AD方向以1cm/s的速度向終點D運動；點F從點C出發沿CA方向以2cm/s的速度向終點A運動，當點E、點F中有一點運動到終點，另一點也隨之停止．設運動時間為ts．

（1）當t為何值時，△AEF和△ACD相似？
（2）如圖2，連接BF，隨著點E、F的運動，四邊形ABFE可能是直角梯形？若可能，請求出t的值及四邊形ABFE的面積；若不能，請說明理由；
（3）當t為何值時，△AFE的面積最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）E、F在移動的過程中，△AEF和△ACD相似有兩種情況，△AEF∽△ACD和△AEF∽△ADC，根據相似三角形的性質就可以求出t的值．
（2）E、F移動t秒后ABFE是直角梯形，則FE⊥AD，延長EF交BC于點G，同樣利用三角形相似把FG表示出來，從而求出EF，根據勾股定理建立等量關系求出t值，就可以求出梯形的面積．
（3）過點F作MN⊥AD于M，交BC于點N，可以證明△CFN∽△CAB，表示出FN，從而表示出FM，利用三角形的面積公式及uky表示出三角形的面積S與t的函數關系式，從而求其解．

解答：解：（1）當運動t秒時，△AEF∽△ADC時，
∴

AE

AD

=

AF

AC

，AE=t，CF=2t，
∴AF=AC-2t
∵∠A=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm，由勾股定理，得
AC=10cm，
∴AF=10-2t
∴

t

6

=

10-2t

10

，解得
t=

30

11

當運動t秒時，△AEF∽△ACD時，

AE

AC

=

AF

AD

∴

t

10

=

10-2t

6

解得：
t=

50

13

（2）設t秒后四邊形AEFB是直角梯形，延長EF交BC于點G，

∴EG⊥AD，EG⊥BC
∵∠B=90°，
∴AB⊥BC，
∴EG∥AB，且AD∥BC
∴△CGF∽△CBA，四邊形AEGB為矩形
∴

FG

AB

=

CF

AC

，EG=AB=6
∴

FG

6

=

2t

10

，
∴FG=

6

5

t
∴EF=6-

6

5

t，
在Rt△AEF中，由勾股定理，得
t²+（6-

6

5

t）²=（10-2t）²，解得
t₁=

40

13

，t₂=

40

3

（不符合題意應舍去）
∴EF=

30

13

，AE=

40

13

∴S_{四邊形ABFE}=

( 30 13 +6)• 40 13

2

=

2160

169

cm²

（3）過點F作MN⊥AD于M，交BC于點N
∴∠DEG=90°．
∵AD∥BC，
∴∠BGE=∠DEG=90°．
∵∠B=90°，
∴EG∥AB，
∴△CFN∽△CAB，
∴

FN

6

=

2t

10

∴FN=

6

5

t，
∴MF=6-

6

5

t，
∴S_△AFE=

t(6- 6 5 t)

2

=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

．
∴當t=

5

2

時，S_△AFE最大，最大值是

15

4

．

點評：本題是一道有關直角梯形的結合解答題，考查了二次函數的最值，相似三角形的判定與性質，勾股定理的運用．