Question

（2008•濰坊）如圖，矩形紙片ABCD中，AB=8，將紙片折疊，使頂點B落在邊AD的E點上，BG=10．
（1）當折痕的另一端F在AB邊上時，如圖．求△EFG的面積；
（2）當折痕的另一端F在AD邊上時，如圖．證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

Answer 1

【答案】分析：根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變和矩形的性質及直角三角形的性質，同角的余角相等，相似三角形的判定和性質，平行四邊形和菱形的判定和性質求解．
解答：解：（1）過點G作GH⊥AD，則四邊形ABGH為矩形，
∴GH=AB=8，AH=BG=10，由圖形的折疊可知△BFG≌△EFG，
∴EG=BG=10，∠FEG=∠B=90°；
∴EH=6，AE=4，∠AEF+∠HEG=90°，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠HEG=∠AFE，
又∵∠EHG=∠A=90°，
∴△EAF∽△GHE，
∴，
∴EF=5，
∴S_△EFG=EF•EG=×5×10=25．

（2）由圖形的折疊可知四邊形ABGF≌四邊形HEGF，
∴BG=EG，AB=EH，∠BGF=∠EGF，
∵EF∥BG，
∴∠BGF=∠EFG，
∴EF=EG，
∴BG=EF，
∴四邊形BGEF為平行四邊形，
又∵EF=EG，
∴平行四邊形BGEF為菱形；
連接BE，
BE，FG互相垂直平分，
在Rt△EFH中，
EF=BG=10，EH=AB=8，
由勾股定理可得FH=AF=6，
∴AE=AF+EF=16，
∴BE==8，
∴BO=4，
∴OG==2，
∵四邊形BGEF是菱形，
∴FG=2OG=4，
答：折痕GF的長是4．
點評：本題利用了：1、折疊的性質：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱變化，對應邊和對應角相等．