Question

如果自然數x_i滿足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，求x₅的最大值．

Answer 1

分析：根據題意可知：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅都是正整數，所以可設1≤x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，再分別從除了x₅其他全是1，至少有2個數大于等于2，至少有3個數大于等于2，去分析求解即可求得答案．

解答：解：∵自然數x_i滿足x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=x₁x₂x₃x₄x₅，
∴x₁，x₂，x₃，x₄，x₅都是正整數，
不妨設1≤x₁≤x₂≤x₃≤x₄≤x₅，
若除了x₅其他全是1，
∴則4+x₅=x₅，∴不可；
∴至少有2個數大于等于2，
若只有2個數大于等于2，則3+x₄+x₅=x₄x₅，
即（x₄-1）（x₅-1）=3，
∴x₅=4 x₄=2，
驗證，不可；
∴至少有3個數大于等于2，
若3個數大于等于2中有2個等于2，則1+1+2+2+x₅=4x₅，
∴x₅=2，∴不可；
∴至少有3個數大于等于2，3個數大于等于2中只有1個等于2，那么至少還有一個大于等于3，
若x₅≥6，
∴x₁x₂x₃x₄x₅≥1×1×2×3×6≥36，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅≤5×6=30，矛盾，
∴x₅≤5，其次x₁=1，x₂=1，x₃=1，x₄=2，x₅=5，成立．
∴x₅的最大值為5．

點評：此題考查了自然數的應用．解題的關鍵是利用分類討論思想求解．