Question

（2009•肇慶）如圖，⊙O的直徑AB=2，AM和BN是它的兩條切線，DE切⊙O于E，交AM于D，交BN于C．設AD=x，BC=y．
（1）求證：AM∥BN；
（2）求y關于x的關系式；
（3）求四邊形ABCD的面積S，并證明：S≥2．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切線的性質得到它們都和直徑垂直就可證明；
（2）作直角梯形的另一高，構造一個直角三角形，根據切線長定理和勾股定理列方程，再表示出關于y的函數關系式；
（3）根據直角梯形的面積公式表示梯形的面積，再根據求差法比較它們的大小．
解答：（1）證明：∵AB是直徑，AM、BN是切線，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN．

（2）解：過點D作DF⊥BC于F，則AB∥DF．
由（1）AM∥BN，∴四邊形ABFD為矩形．
∴DF=AB=2，BF=AD=x．
∵DE、DA，CE、CB都是切線，
∴根據切線長定理，得DE=DA=x，CE=CB=y．
在Rt△DFC中，DF=2，DC=DE+CE=x+y，CF=BC-BF=y-x，
∴（x+y）²=2²+（y-x）²，
化簡，得y=（x＞0）．

（3）解：由（1）、（2）得，四邊形的面積S=AB（AD+BC）=×2×（x+），
即S=x+（x＞0）．
∵（x+）-2=x-2+=（-）²≥0，當且僅當x=1時，等號成立．
∴x+≥2，即S≥2．
點評：此題綜合運用了切線的性質定理、切線長定理、勾股定理以及求差法比較兩個數的大小．