Question

先閱讀下面例題的解法，然后解答后面的問題．
例：若多項式2x³-x²+m分解因式的結果中有因式2x+1，求實數m的值．
解：設2x³-x²+m=（2x+1）•A   （A為整數）
    若2x³-x²+m=（2x+1）•A=0，則2x+1=0或A=0
    由2x+1=0得x=-

1

2

    則x=-

1

2

是方程2x³-x²+m=0的解
    所以2×（-

1

2

）³-（-

1

2

）²+m=0，即-

1

4

-

1

4

+m=0，所以m=

1

2

問題：
（1）若多項式x²+px-6分解因式的結果中有因式x-3，則實數P=

 

；
（2）若多項式x³+5x²+7x+q分解因式的結果中有因式x+1，求實數q的值；
（3）若多項式x⁴+mx³+nx-16分解因式的結果中有因式（x-1）和（x-2），求實數m、n的值．

Answer 1

分析：（1）根據題目提供的信息，把x-3=0，求出x的值，然后代入多項式進行計算即可求出p值；
（2）根據題目提供的信息，把x+1=0，求出x的值，然后代入多項式進行計算即可求出q值；
（3）根據題目提供的信息，把x-1=0，x-2=0，求出x的值，然后代入多項式得到關于m、n的二元一次方程組，解方程組即可得解．

解答：解：（1）設x²+px-6=（x-3）•A    （A為整數），
若x²+px-6=（x-3）•A=0，則x-3=0或A=0，
由x-3=0得，x=3，
則x=3是方程x²+px-6=0的解，
∴3²+3p-6=0，
解得p=-1；

（2）設x³+5x²+7x+q=（x+1）•B   （B為整式），
若x³+5x²+7x+q=（x+1）•B=0，則x+1=0或B=0，
由x+1=0得，x=-1，
則x=-1是方程x³+5x²+7x+q=0的解，
∴（-1）³+5×（-1）²+7×（-1）+q=0，
即-1+5-7+q=0，
解得q=3；

（3）設x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）•C  （C為整式），
若x⁴+mx³+nx-16=（x-1）（x-2）•C=0，則x-1=0，x-2=0，C=0，
由x-1=0，x-2=0得，x=1，x=2，
即x=1，x=2是方程x⁴+mx³+nx-16=0的解，
∴1⁴+m•1³+n•1-16=0，
2⁴+m•2³+n•2-16=0，
即m+n=15①，
4m+n=0②，
①②聯立解得m=-5，n=20，
故答案為：（1）p=-1，（2）q=3，（3）m=-5，n=20．

點評：本題考查了因式分解的應用，讀懂題目信息，利用方程的思想求解是解題的關鍵．