Question

（2009•杭州）如圖，在等腰梯形ABCD中，∠BCD=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長線上，且DE=CF，AF、BE于點P．
（1）求證：AF=BE；
（2）請你猜測∠BPF的度數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：由ASA可證△BAE≌△ADF，繼而得證，并得出∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE，結合題意，可得∠BPF=120°．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，
又∵AD=DC，
∴BA=AD（等量代換），
又∵∠BAE=∠ADF（等腰梯形的性質），
∵AD=DC，DE=CF，
∴AD+DE=DC+CF，
∴AE=DF（等量代換），
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE=AF（對應邊相等）；

（2）解：猜想∠BPF=120°．
∵由（1）知△BAE≌△ADF（已證），
∴∠ABE=∠DAF（對應角相等）．
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAP+∠EAF=∠BAE（等量代換）．
∵AD∥BC，∠DCB=∠ABC=60°（已知），
∴∠BPF=∠BAE=180°-60°=120°（等量代換）．
點評：此題考查了等腰梯形的性質和全等三角形的判定的理解及掌握．