Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+px+q，且方程f（x）=0與f（2x）=0有相同的非零實(shí)根．
（1）求

q

p2

的值．（2）若f（1）=28，解方程f（x）=0．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)題意寫出二次函數(shù)f（x）=x²+px+q=0、f（2x）=（2x）²+p（2x）+q=0的．再利用加減消元法、代入法抵消掉x即可求出

q

p2

的值．
（2）根據(jù)f（1）=28可列出1+p+q=28，再根據(jù)（1）式可知p、q的關(guān)系，聯(lián)立可解出p、q的值．代入方程f（x）=0，即可取出x的具體解．

解答：解：（1）設(shè)f（x）=0的兩根為x₁、x₂，且x₁≤x₂
則f（x）=0，即x²+px+q=0              ①
f（2x）=0，即（2x）²+p（2x）+q=0      ②
①×4-②得  2px+3q=0，即 x=-

3q

2p

③
②-①×2得  2x²-q=0，即 x²=

q

2

④
將③代入④得(-

3q

2p

)2=

q

2

，即

q

p2

=

2

9

（2）∵f（1）=28，即：1+p+q=28    ⑤
由（1）知

q

p2

=

2

9

⑥
聯(lián)立兩方程求得  p=9，q=18，或p=-

27

2

，q=

81

2

當(dāng)p=9，q=18時(shí)，f（x）=x²+9x+18
f（x）=0，即x²+9x+18=0
解得x₁=-3，x₂=-6；
當(dāng)p=-

27

2

，q=

81

2

時(shí)，f（x）=x2-

27

2

x+

81

2

f（x）=0，即x2-

27

2

x+

81

2

=0
解得x₁=

9

2

，x₂=9
故f（0）的兩組解是

x1=-3 x2=-6

，

x1= 9 2 x2=9

點(diǎn)評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題目．解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程f（x）=0與f（2x）=0有相同的非零實(shí)根，確定出p、q的值．