Question

已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖1擺放，點E、A、D、B在一條直線上，且D是AB的中點．將Rt△DEF繞點D順時針方向旋轉角α（0°＜α＜90°），在旋轉過程中，直線DE、AC相交于點M，直線DF、BC相交于點N，分別過點M、N作直線AB的垂線，垂足為G、H．
（1）當α=30°時（如圖2），求證：AG=DH；
（2）當α=60°時（如圖3），（1）中的結論是否成立？請寫出你的結論，并說明理由；
（3）當0°＜α＜90°時，（1）中的結論是否成立？請寫出你的結論，并根據圖④說明理由．

Answer 1

解：（1）∵α=30°，
∴∠ADM=30°，
∵∠A=30°，
∴∠ADM=∠A．
∴AM=DM．
又∵MG⊥AD于G，
∴AG=AD．
∵∠CDB=180°-∠EDF-∠ADM=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等邊三角形．
又∵CH⊥DB于H，
∴DH=DB．
∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．
∵BC=BD，
∴AD=DB．
∴AG=DH．

（2）結論成立．理由如下：
在△AMD與△DNB中，∠A=∠NDB=30°，AD=DB，∠MDA=∠B=60°，
∴△AMD≌△DNB，
∴AM=DN．
又∵在△AMG與△DNH中，∠A=∠NDB，∠MGA=∠NHD=90°，
∴△AMG≌△DNH．
∴AG=DH．

（3）方法一：解：結論成立．
Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD．
∵∠C=∠MDN=90°
∴C，D兩點在以MN為直徑的圓上，
∴C，M，D，N四點共圓
∴∠DNM=∠DCA=30°，
∴DN=DM
又∵△DGM∽△NHD，
∴DH=MG=AG．
方法二：
解：當0°＜α＜90°時，（1）中的結論成立．
在Rt△AMG中，∠A=30°，
∴∠AMG=60°=∠B．
又∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB．
∴①
∵∠MDG=α，
∴∠DMG=90°-α=∠NDH．
又∠MGD=∠DHN=90°，
∴Rt△MGD∽Rt△DHN．
∴=②
①×②，得．=
由比例的性質，得=
∵AD=DB，
∴AG=DH．
分析：（1）由題意易證出AG=AD，DH=DB，而AD=DB，可得AG=DH；
（2）可由證△AMD≌△DNB，再證△AMG≌△DNH，證出AG=DH；
（3）可證Rt△AGM∽Rt△NHB，Rt△DGM∽Rt△NHD，證出AG=DH．
點評：此題主要考查圖形的旋轉，直角三角形的性質，三角形全等的判定，三角形相似的判定及性質的靈活運用．此題用同學們常用的一副三角板作為情境，培養同學們靈活運用知識的能力．