Question

如圖，等腰直角三角形ABC頂點A在x軸上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數y=（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E．連結DE，當△BDE∽△BCA時，點E的坐標為    ．

Answer 1

【答案】分析：由相似三角形的對應角相等推知△BDE的等腰直角三角形；根據反比例函數圖象上點的坐標特征可設E（a，），D（b，），由雙曲線的對稱性可以求得ab=3；最后，將其代入直線AD的解析式即可求得a的值．
解答：解：如圖，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函數y=（x＞0）的圖象分別與AB，BC交于點D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可設E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（a-2，0），
∴易求直線AB的解析式是：y=x+2-a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直線y=x與直線DE垂直，
∴點D、E關于直線y=x對稱，則=，即ab=3．
又∵點D在直線AB上，
∴=b+2-a，即2a²-2a-3=0，
解得，a=，
∴點E的坐標是（，）．
故答案是：（，）．
點評：本題綜合考查了相似三角形的性質、反比例函數圖象上點的坐標特征、一次函數圖象上的點的坐標特征、待定系數法求一次函數的解析式．解題時，注意雙曲線的對稱性的應用．