Question

已知拋物線y=ax²+（a+2）x+2a+1與直線y=2-3x至少有一個交點是整點（直角坐標系中，橫、縱坐標均為整數的點），試確定整數a的值，并求出相應的交點（整點）的坐標．

Answer 1

分析：根據拋物線y=ax²+（a+2）x+2a+1與直線y=2-3x至少有一個交點是整點，將兩式聯立，得出關于x的一元二次方程，再利用根與系數關系得出，進而得出答案．

解答：解：聯立

y=ax2+(a+2)x+2a+1 y=2-3x

，
得ax²+（a+5）x+2a-1=0（1）
設（1）的兩根為x₁，x₂，
當兩根都為整數，則x₁•x₂=

2a-1

a

=2-

1

a

為整數，
∴a=±1，
當a=1時，（1）為x²+6x+1=0無整數解，
當a=-1時，（1）為x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
對應地y₁=-1，y₂=-7，
∴a=-1，交點坐標為（1，-1）和（3，-7）．
當其中一個根是整數，
則a=2，同理可得出：交點（-3，11），
a=3，同理可得出：交點 （-1，5）．

點評：此題主要考查了二次函數與一元二次方程的綜合應用，根據已知分類討論得出，再利用解一元二次方程是解題關鍵．