Question

如圖，已知AC切⊙O于A，AB為直徑，C為⊙O外一點，BC交⊙O于點D，AC=6，BD=5，連接AD．
（1）證明：△CAD∽△CBA；（2）求線段DC的長．

Answer 1

證明：（1）∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°．
又∵CA是切線，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
∴∠BAC=∠CDA=90°．
又∵∠BCA=∠DCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）由（1）知△CAD∽△CBA，
∴．
設DC=x，
則，
即x²+5x-36=0，
解得x=4或x=-9（舍去），
∴CD的長為4．
分析：（1）根據有兩組角對應相等的兩個三角形相似可得到△CAD∽△CBA；
（2）根據相似三角形的對應邊成比例可求得CD的長．
點評：此題主要考查相似三角形的判定及切線的性質的理解及運用，同時也考查了因式分解法解一元二次方程．