Question

（2003•泰州）點P是x軸正半軸的一個動點，過點P作x軸的垂線PA交雙曲線于點A，連接OA．
（1）如圖甲，當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小是否變化？若不變，請求出Rt△AOP的面積；若改變，試說明理由；
（2）如圖乙，在x軸上的點P的右側有一點D，過點D作x軸的垂線交雙曲線于點B，連接BO交AP于點C，設△AOP的面積是S₁，梯形BCPD的面積為S₂，則S₁與S₂的大小關系是S_{1______}S₂（選填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如圖丙，AO的延長線與雙曲線的另一個交點為F，FH垂直于x軸，垂足為點H，連接AH，PF，試證明四邊形APFH的面積為一個常數．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題還可依據比例系數k的幾何意義，得出兩個三角形的面積都等于|k|=，因而當點P在x軸的正方向上運動時，Rt△AOP的面積大小不變；
（2）根據（1）可以得到△BDO的面積，因而S₁＞S₂．
解答：解：（1）Rt△AOP的面積不變，總等于；

（2）根據△AOP的面積等于S₁，△BOD的面積大于S₂，S₁＞S₂；

（3）設A的坐標是（a，b），根據反比例函數是中心對稱圖形，因而F點的坐標是（-a，-b），則AP=b，HP=2a，則四邊形APFH的面積是2ab，據（a，b）在雙曲線的圖象上，因而ab=1，則四邊形APFH的面積是2ab=2．
點評：本題考查函數圖象交點坐標的求法及反比例函數的比例系數k與其圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系，即S=|k|．