Question

如圖，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=4cm，DC=6cm，試求AD的長．小萍同學靈活運用軸對稱知識，將圖形進行翻折變換，巧妙地解答了此題．請按照她的思路回答下列問題：
（1）小萍分別以AB、AC所在的直線為對稱軸，畫出△ABD、△ACD的軸對稱圖形，D點的對稱點分別為點E、F，延長EB、FC相交于G點．試幫她證明四邊形AEGF是正方形；
（2）聯系（1）的結論，試求出AD的長．

Answer 1

分析：（1）先根據圖形翻折變換的性質可知△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF=90°；再根據對稱的性質得到AE=AF，從而說明四邊形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立關于x的方程模型（x-4）2+（x-6）2=102，求出AD=x=12．

解答：（1）證明：∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，
∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB=∠EAB，∠DAC=∠FAC，又∠BAC=45°，
∴∠EAF=90°．
又∵AD⊥BC
∴∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°．
又∵AE=AD，AF=AD
∴AE=AF．
∴四邊形AEGF是正方形．
（2）解：設AD=x，則AE=EG=GF=x．
∵BD=4，DC=6
∴BE=4，CF=6
∴BG=x-4，CG=x-6
在Rt△BGC中，BG²+CG²=BC²，
∴（x-4）²+（x-6）²=10²，即x²-10x-24=0，解得x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AD=x=12．

點評：本題考查圖形的翻折變換和利用勾股定理，熟知折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等是解答此題的關鍵．