Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c交坐標軸于點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）．
（1）求此拋物線函數解析式及頂點M的坐標；
（2）若直線CM與x軸交于點D，E是C關于此拋物線對稱軸的對稱點，試判斷四邊形ADCE的形狀并說明理由；
（3）若P是該拋物線上異于A、B兩點的一個動點，連接BP交y軸正半軸于點N，是否存在點P使△AOC與△BON相似？若存在請直接寫出點P的坐標，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A、B、C三點坐標代入解方程組可得a，b，c的值和拋物線解析式，用頂點坐標公式求頂點坐標；（2）已知點C（0，-3），M（1，-4），根據“兩點法”可求直線CM函數解析式及D點坐標，∵E是C關于此拋物線對稱軸的對稱點，∴點E（2，-3），這樣就已知A，D，C，E四點坐標，只要判斷線段CE、AD平行且相等即可；
（3）設N（0，n），n＞0，△AOC與△BON都是直角三角形要求相似，存在兩種對應關系：△AOC∽△BON，△AOC∽△NOB，根據相似比可得N點坐標，再求直線BN解析式與拋物線解析式聯立可求P點坐標．

解答：解：
（1）把點A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）代入拋物線y=ax²+bx+c得：

0=a-b+c 0=9a+3b+c -3=c

解得：

a=1 b=-2 c=-3

∴拋物線函數解析式為y=x²-2x-3（3分）
頂點M的坐標為（1，-4）（4分）

（2）∵點C（0，-3），M（1，-4）
∴直線CM函數解析式為y=-x-3
∴直線CM與x軸交于點D（-3，0），（6分）
∵E是C關于此拋物線對稱軸的對稱點，
∴點E（2，-3）
∴CE=AD=2，
又∵CE∥AD
∴四邊形ADCE是平行四邊形．（8分）

（3）存在點P使△AOC與△BON相似，P₁（-

4

3

，

13

9

），P₂（-4，21）．（12分）

點評：本題考查了拋物線解析式及頂點坐標的求法，平行四邊形的判斷，尋找三角形相似的條件等知識，充分體現形數結合的數學思想．