Question

已知正方形ABCD的邊長為，兩條對角線AC、BD相交于點O，P是射線AB上任意一點，過P點分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．
（1）如圖1，當P點在線段AB上時，試說明四邊形PEOF是矩形；
（2）如圖1，當點P在線段AB上時，求PE+PF的值；
（2）如圖2，當P點在線段AB的延長線上時，求PE-PF的值．

Answer 1

解：（1）∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠PFO=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOF=90°，
∴四邊形PEOF是矩形；

（2）在正方形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AD=，OB=OD=BD，
∴BD===2，
∴BO=BD=×2=1，
由（1）可知，四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
∵∠ABO=45°，∠PFB=90°，
∴∠BPF=45°，
∴∠ABO=∠BPF，
∴PF=BF，
∴PE+PF=OF+BF=BO=1；

（3）同理，PE=OF，PF=BF，
∴PE-PF=OF-BF=OB=1．
分析：（1）根據垂直的定義可得∠PEO=∠PFO=90°，再根據正方形的對角線互相垂直可得AC⊥BD，從而得到∠AOF=90，然后根據有三個角是直角的四邊形是矩形判定即可；
（2）先根據正方形的性質求出對角線的長，再根據正方形的對角線互相平分求出OB，然后根據矩形的對邊相等可得PE=OF，再求出∠ABO=∠BPF，根據等角對等邊可得PF=BF，然后求出PE+PE=OB，從而得解；
（3）與（2）同理求出PE=OF，PF=BF，再根據PE-PF=OF-BF=OB解答．
點評：本題考查了正方形的性質，矩形的判定與性質，以及勾股定理的應用，熟練掌握正方形的四條邊都相等，對角線互相垂直平分，對角線平分一組對角的性質是解本題的關鍵．