Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，點M是AC邊的中點，點N是BC邊上的任意一點，若點C關于直線MN的對稱點C′恰好落在△ABC的中位線上，則CN的長為_____．

Answer 1

【答案】或

【解析】

根據題意分三種情況討論，分別作圖取BC、AB的中點H、G，連接MH、HG、MG，①當點C′落在MH上時，設NC＝NC′＝x，則MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，根據Rt△HNC′中，HN2＝HC′2+NC′2，列式求解；②當點C′落在GH上時，設NC＝NC′＝x，Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，求出GC′＝，再證明△HNC′∽△GC′M，根據，即可求出x,③，當點C′落在直線GM上時，易證四邊形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2，由C'M＞GM，故點C′在中位線GM的延長線上，不符合題意.

解：取BC、AB的中點H、G，連接MH、HG、MG．

如圖1中，當點C′落在MH上時，設NC＝NC′＝x，

由題意可知：MC＝MC′＝4，MH＝5，HC′＝1，HN＝3﹣x，

在Rt△HNC′中，∵HN2＝HC′2+NC′2，

∴（3﹣x）2＝x2+12，

解得x＝．

如圖2中，當點C′落在GH上時，設NC＝NC′＝x，

在Rt△GMC′中，MG＝CH＝3，MC＝MC′＝4，

∴GC′＝，

∵∠NHC'＝∠C'GM＝90°，∠NC'M＝90°，

∴∠HNC'+∠HC'N＝∠GC'M+∠HC'N＝90°，

∴∠HNC'＝∠CGC'M，

∴△HNC′∽△GC′M，

∴，

∴，

∴x＝．

如圖3中，當點C′落在直線GM上時，易證四邊形MCNC′是正方形，可得CN＝CM＝2．

∴C'M＞GM，

此時點C′在中位線GM的延長線上，不符合題意．

綜上所述，滿足條件的線段CN的長為或．

故答案為：或．