Question

已知：如圖，矩形ABCD中，CH⊥BD于點H，P為AD上的一個動點（點P與點A、D不重合），CP與BD交于點E，若CH=

60

13

，DH：CD=5：13，設AP=x，四邊形ABEP的面積為y．
（1）求BD的長；
（2）求y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）當四邊形ABEP的面積是△PED面積的5倍時，連接PB，判斷△PAB與△PDC是否相似？如果相似，求出相似比；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據DH、CD的比例關系，可用未知數表示出它們的長，由勾股定理可得到CH的表達式，已知了CH的長，即可求得CD、DH的長；在Rt△CBD中，CH⊥BD于H，由射影定理即可求得BD的長；
（2）Rt△BCD中，根據勾股定理易求得BC的長，即可得到PD的表達式；過E點作EF⊥AD于點F，延長FE交BC于點M，則EF、EM分別是△DPE、△BCE的高，易證得這兩個三角形相似，根據相似三角形的對應線段成比例即可得到EF、EM的比例關系式，聯立EF+EM=CD=5，即可求得EF的長，進而可得到△PED的面積；由于四邊形APEB的面積是△ABD和△PED的面積差，由此的求得y、x的函數關系式；
（3）當四邊形ABEP的面積是△PED面積的5倍時，那么其面積是△ABD的

5

6

，由此可求得四邊形ABEP的面積，代入（2）的函數關系式中，即可求得AP的長，進而可根據AP、PD、AB、CD的長來判斷出△PAB與△PDC是否相似．

解答：解：（1）∵DH：CD=5：13，
∴設DH=5k（k＞0），則CD=13k
∵CH⊥BD于點H
在Rt△CHD中，
根據勾股定理，CH²+DH²=CD²
∴CH=

CD2-DH2

=

(13k)2-(5k)2

=12k
∵CH=

60

13

∴12k=

60

13

∴k=

5

13

∴DC=5，DH=

25

13

∵四邊形ABCD是矩形
∴∠BCD=90°
∴DC²=DH•BD
∴BD=

DC2

DH

=13．

（2）Rt△BCD中，根據勾股定理，BC=

BD2-DC2

=12
∴AD=12
∵AP=x
∴PD=12-x
過E點作EF⊥AD于點F，延長FE交BC于點M
則EM⊥BC
∵AD∥BC
∴△EDP∽△EBC
∵EF+EM=5
∴EM=5-EF
∴

EF

5-EF

=

12-x

12

∴EF=

5(12-x)

24-x

∴S_△PED=

1

2

（12-x）•

5(12-x)

24-x

=

5(12-x)2

2(24-x)

∵S_△ABD=

1

2

AB•AD=

5×12

2

=30
又∵S_{四邊形ABEP}=S_△ABD-S_△PED
∴y=30-

5(12-x)2

2(24-x)

其中0＜x＜12

（3）∵S_{四邊形ABEP}=

5

6

S_△ABD=25
∴30-

5(12-x)2

2(24-x)

=25
整理，得
x²-22x+96=0
解得x₁=6，x₂=16
經檢驗x₁=6，x₂=16是原方程的根，但x₂=16不合題意舍去．
∴x=6
∴AP=6
當AP=6時，P為AD中點
連接PB
則△PAB≌△PDC（如圖2）
∴△PAB與△PDC相似，相似比為1．

點評：此題主要考查了矩形的性質，勾股定理，相似三角形、全等三角形的判定和性質等知識的綜合應用能力，綜合性強，難度較大．