Question

（2005•宿遷）某數學興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為9米，并測出此時太陽光線與地面成30°夾角．
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．（計算結果精確到0.1米，參考數據：≈1.414，≈1.732）

Answer 1

【答案】分析：（1）可根據正切值求出樹高AB；
（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點D為切點，DE⊥AD交AC于E點，求出AE的值即可．
解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°
∵tanC=（2分）
∴AB=AC•tanC（3分）
=9×（4分）
≈5.2（米）（5分）

（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點D為切點，DE⊥AD交AC于E點，（如圖）（7分）
在Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠E=30°，
∴AE=2AD（9分）
=2×5.2=10.4（米）（10分）
答：樹高AB約為5.2米，樹影有最長值，最長值約為10.4米．（11分）
點評：此題主要是運用所學的解直角三角形的知識解決實際生活中的問題．分析以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，是解題的關鍵．