Question

已知拋物線y=ax²+bx+c與拋物線y=-x²-3x+7的形狀相同，頂點在直線x=1上，且頂點到x軸的距離為5，則此拋物線的解析式為    ．

Answer 1

【答案】分析：先根據拋物線y=ax²+bx+c與拋物線y=-x²-3x+7的形狀相同可知a=±1，則拋物線解析式為y=±x²+bx+c，由頂點在直線x=1上可求出b的值，再根據頂點到x軸的距離為5求出c的值即可．
解答：解：∵拋物線y=ax²+bx+c與拋物線y=-x²-3x+7的形狀相同，
∴a=±1，
∴拋物線解析式為y=±x²+bx+c，
∵拋物線頂點在直線x=1上，
∴a=±1，
∴當a=-1時，-=1，
∴b=2；
當a=1時，-=1，
∴b=-2，
∴拋物線解析式為y=-x²+2x+c=-（x-1）²+c+1，或y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1，
∵拋物線頂點到x軸的距離為5．
∴當y=x²-2x+c=（x-1）²+c-1
∴|c-1|=5，解得c=-4或c=6，
∴此時拋物線的解析式為：y=x²-2x+6 或y=x²-2x-4；
∵當拋物線的解析式為y=-x²+2x+c=-（x-1）²+c+1時，
∴|c+1|=5，解得c=4或c=-6，
∴此時拋物線的解析式為：y=-x²+2x+4 或y=-x²+2x-6．
∴拋物線的解析式為：y=x²-2x+6或y=x²-2x-4或y=-x²+2x+4或y=-x²+2x-6．
點評：本題考查的是二次函數的圖象與幾何變換，解答此題的關鍵是根據拋物線的對稱軸方程得出拋物線的頂點式，得出c的值，進而得出拋物線的解析式．