Question

已知：如圖，M是⊙O的直徑AB上任意一點，過點M作AB的垂線MP，D是MP的延長線上一點，連接AD交⊙O于點C，且PD=PC．
（1）判斷直線PC與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若tanD=，OA=3，過點A作PC的平行線AN交⊙O于點N．求弦AN的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等腰三角形的性質得出CO=AO，則∠A=∠OCA，由PD=PC得出∠D=∠PCD，即可得出∠OCA+∠PCD=90°進而得出答案即可；
（2）首先利用∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，得出tan∠QAC=tanD=，進而利用勾股定理得出AN的長即可．
解答：（1）直線PC與⊙O相切，
證明：如圖1，連接CO，
∵DM⊥AB
∴∠D+∠A=90°
∵PD=PC
∴∠D=∠PCD
∵OC=OA
∴∠A=∠OCA
∴∠OCA+∠PCD=90°
∴PC⊥OC
∴直線PC是⊙O的切線；
               
（2）解：如圖2，過點A作PC的平行線AN交⊙O于點N，交CO于點Q．
故∠NAC=∠PCD=∠D，AN⊥OC，垂足是Q，
在Rt△CQA中，
則tan∠QAC=tanD=，
設CQ=x，AQ=，
故OQ=3-x，
∵OA²=OQ²+AQ²，
∴，
解得x=2，
∴，
∴．
點評：此題主要考查了切線的判定及性質和勾股定理的應用、銳角三角函數關系等知識，根據已知得出tan∠QAC=tanD=是解題關鍵．