Question

（2002•武漢）如圖，已知：在直角坐標系中．點E從O點出發，以1個單位/秒的速度沿x軸正方向運動，點F從O點出發，以2個單位/秒的速度沿y軸正方向運動．B（4，2），以BE為直徑作⊙O₁．

（1）若點E、F同時出發，設線段EF與線段OB交于點G，試判斷點G與⊙O₁的位置關系，并證明你的結論；
（2）在（1）的條件下，連接FB，幾秒時FB與⊙O₁相切？
（3）若點E提前2秒出發，點F再出發．當點F出發后，點E在A點的左側時，設BA⊥x軸于點A，連接AF交⊙O₁于點P，試問AP•AF的值是否會發生變化？若不變，請說明理由并求其值；若變化，請求其值的變化范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）要判斷點G與⊙O₁的位置關系，只需比較O₁G與⊙O₁的半徑O₁B的大小．設點E出發t秒，則E（t，0），F（0，2t），用待定系數法求出直線EF和直線OB的解析式，確定點G的坐標，用兩點間的距離公式計算出O₁G與O₁B的大小，從而進行判定．
（2）如果t秒時FB與⊙O₁相切，那么∠FBE=90°；在RT△BEF與RT△OEF中，根據EF不變列出方程，求出t的值．
（3）設點F出發t秒，則E（t+2，0），F（0，2t）；設P（x，y），由tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，得出x=4-，即P（4-，y）；因為BE為直徑，所以∠BPE=90°，PE²+BP²=BE²，得出y與t的關系，可以含t的代數式得出P的坐標，分別計算AP，AF的長，根據結果判斷．
解答：解：（1）設點E出發t秒，則E（t，0），F（0，2t）；
設直線EF的方程為y=kx+b，則，
∴解得，
∴y=-2x+2t，
∴直線OB的方程為y=x；
∵解方程組，
得，
∴G（t，t）；
∵O₁是BE的中點，
∴O₁（，1），
∴O₁G²=（-t）²+（1-t）²=t²-2t+5，O₁B²=（4-）²+1²=t²-2t+5，
∴O₁G=O₁B，點G在⊙O₁上．

（2）設t秒時FB與⊙O₁相切，那么E（t，0），F（0，2t），∠FBE=90°；
∵EF²=BE²+BF²，EF²=OE²+OF²，
∴（4-t）²+2²+4²+（2-2t）²=t²+（2t）²，
解得t=2.5．

（3）設點F出發t秒，則E（t+2，0），F（0，2t），
設P（x，y）；
∵tan∠FAO=y：（4-x）=2t：4，
∴x=4-，
∴P（4-，y）．
∵BE為直徑，
∴∠BPE=90°．
∵PE²+BP²=BE²
∴利用兩點間的距離公式把B、P、E、F各點的坐標代入得，
∴y=，
∴x=，
即P（，），
∴AP²=（4-）²+（）²，
∴AP=×，AF==2．
∴AP•AF=8，是不會發生變化的．
點評：本題綜合考查了切線的判定，三角函數等知識，解題中要善于抓住不變量，找到等量關系，題目有一定難度，可以考查學生的綜合實力．