Question

（2012•金山區一模）如圖，已知線段AB，P是線段AB上任意一點（不與點A、B重合），分別以AP、BP為邊，在AB的同側作等邊△APD和△BPC，連接BD與PC交于點E，連接CD．

（1）當BC⊥CD時，試求∠DBC的正切值；
（2）若線段CD是線段DE和DB的比例中項，試求這時

AP

PB

的值；
（3）記四邊形ABCD的面積為S，當P在線段AB上運動時，S與BD²是否成正比例，若成正比例，試求出比例系數；若不成正比例，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，進而得出∠DBC的正切值等于

CD

BC

=

CD

PC

，即可得出答案；
（2）利用線段CD是線段DE和DB的比例中項得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性質得出即可；
（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出

S△APD

S△PDC

=

AD

PC

，

S△PDC

S△BPC

=

PD

BC

，進而得出

S△APD

S△PDC

=

S△PDC

S△BPC

，以及

S

BD2

=

3

4

，即可得出比例系數．

解答：解：（1）∵等邊△APD和△BPC，
∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC=∠PCB=60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB=∠PDC=90°，
∴∠DCP=30°，
∴tan∠DBC=

CD

BC

=

CD

PC

=cos30°=

3

2

；

（2）由已知，CD²=DE•DB，
即

DE

CD

=

CD

DB

，
又∵∠CDE=∠CDE，
∴△DCE∽△DBC，
∴

DE

CD

=

CD

DB

=

CE

BC

，
又∵CP=BC，

CE

BC

=

CE

CP

，
∵PD∥BC，
∴

CE

CP

=

BE

BD

，
∴

CD

DB

=

CE

CP

=

BE

BD

，
∴CD=BE，
∴

DE

BE

=

BE

DB

，即點E是線段BD的黃金分割點．
∴

DE

BE

=

BE

DB

=

5 -1

2

，
又∵PC∥AD，
∴

AP

PB

=

DE

BE

=

5 -1

2

，

（3）設AP=a，PB=b，
∴S △APD=

3

4

a2，S △BPC=

3

4

b2，
因為AD∥PC，PD∥BC，
∴

S△APD

S△PDC

=

AD

PC

，

S△PDC

S△BPC

=

PD

BC

，
∴

S△APD

S△PDC

=

S△PDC

S△BPC

，
∴S△PDC=

S△APD•S△BPC

=

3

4

ab，
∴S=

3

4

(a2+ab+b2)，
作DH⊥AB，
則DH=

3

2

a，BH=

1

2

a+b，
∴BD²=DH²+BH²=（

3

2

a）²+（

1

2

a+b）²=a²+ab+b²，
∴

S

BD2

=

3

4

，
∴S與BD²成正比例，比例系數為

3

4

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質，熟練利用相似三角形的性質得出對應邊之間關系是解題關鍵．