Question

對于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），下列說法：①若c=0，則方程必有一根為0；②若a+c=0，則方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；③當（a+c）²≤b²時，關于x的方程ax²+bx+c=0必有實根；④若b²-5ac＞0時，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等實根．其中正確的結論有（ ）
A．①②③④
B．只有①②
C．只有①②③
D．只有②④

Answer 1

【答案】分析：①根據此時c=0，根的判別式△=b²≥0，即可作出判斷；
②根據此時a+c=0，根的判別式，即可作出判斷；
③根據當（a+c）²≤b²時，將b²=（a+c）²代入即可得出判別式的值的符號，即可得出答案；
④根據若b²-5ac＞0，即可得出△=b²-4ac＞0，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等實根．
解答：解：①∵c=0，
∴△=b²≥0，
∴若c=0，則方程必有一根為0；故此選項正確；

②因為a+c=0，a≠0，所以①a、c異號，所以△=b²-4ac＞0，所以方程有兩個不等的實數根；故此選項正確；

③∵（a+c）²≤b²，
∴當b²=（a+c）²時，
△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²≥0，
∴當（a+c）²≤b²時，關于x的方程ax²+bx+c=0必有實根；故此選項正確；

④當b²-5ac＞0，
∵b²≥0，b²＞5ac，
∴△=b²-4ac＞0，則方程ax²+bx+c=0一定有兩個不相等實根．
所以①②③④成立．
故選A．
點評：此題綜合考查了根的判別式與一元二次方程，試題在求解的過程中可以利用方程解的定義以及恒等變形求解．