Question

15．如圖1所示，將一個邊長為2的正方形ABCD和一個長為2，寬為1的長方形CEFD拼在一起，構成一個大的長方形ABEF，現將小長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，旋轉角為α．
（1）當邊CD′恰好經過EF的中點H時，求旋轉角α的大小；
（2）如圖2，G為BC中點，且0°＜α＜90°，求證：GD′=E′D；
（3）小長方形CEFD繞點C順時針旋轉一周的過程中，△DCD′與△BCD′能否全等？若能，直接寫出旋轉角α的大小；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據旋轉的性質得CE=CH=1，即可得出結論；
（2）由G為BC中點可得CG=CE，根據旋轉的性質得∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′CE，則∠GCD′=∠DCE′=90°+α，然后根據“SAS”可判斷△GCD′≌△E′CD，則GD′=E′D；
（3）根據正方形的性質得CB=CD，而CD=CD′，則△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當兩頂角相等時它們全等，當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，可計算出α=135°，當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，可計算得到α=315°．

解答 （1）解：
∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，
∴CE=CH=1，
∴△CEH為等腰直角三角形，∴∠ECH=45°，∴∠α=30°；

（2）證明：∵G為BC中點，
∴CG=1，
∴CG=CE，
∵長方形CEFD繞點C順時針旋轉至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中$\left\{\begin{array}{l}{CD'=CD}\\{∠GCD=DCE'}\\{CG=CE'}\end{array}\right.$，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；

（3）解：能．
理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，
∵CD′=CD′，
∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，
當∠BCD′=∠DCD′時，△BCD′≌△DCD′，
當△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時，則旋轉角α=$\frac{360°-90°}{2}$=135°，
當△BCD′與△DCD′為銳角三角形時，∠BCD′=∠DCD′=$\frac{1}{2}$∠BCD=45°
則α=360°-$\frac{90°}{2}$=315°，
即旋轉角a的值為135°或315°時，△BCD′與△DCD′全等

點評 此題是四邊形綜合題，主要考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了正方形、矩形的性質以及三角形全等的判定與性質．