Question

已知：如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC與BD相交于點O，點E、F分別在線段OB、OC上，AO=OF，AE∥DF．
求證：（1）AO=DO；
（2）四邊形AEFD是矩形．

Answer 1

證明：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，
在△ADC與△DAB中，
∴，
∴△ADC≌△DAB，
∴∠DAC=∠ADB，
∴AO=DO；

（2）∵AO=DO，AO=OF，
∴DO=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵AE∥DF，
∴∠EAF=∠OFD，∠AEO=∠ODF，
∴∠EAF=∠AEO，
∴OA=OE=OD=OF，即AF=DE，
∴四邊形AEFD是矩形．
分析：（1）由梯形ABCD是等腰梯形可知，AB=CD，∠ADC=∠DAB，故可得出△ADC≌△DAB，故∠DAC=∠ADB，故可得出結論；
（2）由（1）可知AO=DO，由于AO=OF，故DO=OF，故∠ODF=∠OFD，再由AE∥DF可知，∠EAF=∠OFD，∠AEO=∠ODF，故∠EAF=∠AEO，所以OA=OE=OD=OF，即AF=DE，故可得出結論．
點評：本題考查的是等腰梯形的性質、全等三角形的判定與性質及矩形的判定定理，根據題意判斷出OA=OE=OD=OF是解答此題的關鍵．