Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=BC=4，AD=2．點M為邊BC的中點，以M為頂點作∠EMF=∠B，射線ME交邊AB于點E，射線MF交邊CD于點F，連接EF．
（1）指出圖中所有與△BEM相似的三角形，并加以證明；
（2）設BE=x，CF=y，求y關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（3）如果△BEM是以BM為腰的等腰三角形，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知∠EMF=∠B，利用外角的性質證明∠CMF=∠BEM，由等腰三角形的性質，得∠B=∠C，證明△BME∽△CFM；再利用相似比及∠EMF=∠B，證明△BME∽△MEF；
（2）根據△CMF∽△BEM得，然后代入關于x和y的關系式，由（3）可求出BE的最小值，再根據AB=4即可求出BE的最大長度為4．
（3）當△BME是以BM為腰的等腰三角形時，①若BE=BM=2，同理CM=CF=2，可知E、F分別是AB、DC的中點，由梯形中位線定理求解，②若BM=ME=2，過M作MH⊥BE于H，過A作AG⊥BC于G，利用相似比求解．
解答：解：（1）△CMF∽△BEM，△MEF∽△BEM，
證明如下：
在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，AB=CD，∴∠B=∠C，
又∵∠EMF+∠FMC=∠B+∠BEM，∠EMF=∠B，
∴∠FMC=∠BEM，
∴△CMF∽△BEM，
∴，
又∵CM=BM，
∵∠EMF=∠B，∴△MEF∽△BEM，

（2）∵△CMF∽△BEM，∴，
∵BM=CM=2，∴，
∴所求函數的解析式為，定義域為1≤x≤4，

（3）（i）當BM=BE=2時，
由△BEM∽△CMF，得CF=MC=2，
而AB=CD=4，∴AE=BE=CF=DF=2，
∴EF為梯形的中位線，
∴EF=，
（ii）當BM=EM=2時，作EG⊥BC，垂足為G，
設BE=x，由題意，得BG=，GM=，
∵BE²-BG²=EM²-GM²，
即，
∴x=1或x=0（不符合題意，舍去），
∴BE=1，
由△BEM∽△MEF，得，即，
∴EF=4，
綜上所述，△BEM是以BM為腰的等腰三角形時，EF的長為3或4．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，等腰梯形的性質．關鍵是等腰梯形的兩底角相等，利用外角的性質得出角的相等關系，證明三角形相似．