Question

如圖，將直角梯形ABCD置于直角坐標系中，點A和點C分別在x軸和y軸的正半軸上，點D和坐標原點O重合．已知：BC∥AD，BC=2，AD=AB=5，M（7，1），點P從點M出發，以每秒2個單位長度的速度水平向左平移，同時點Q從點A沿AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，設移動時間為t秒．
（1）直接寫出點Q和點P的坐標（用t的代數式表示）．
（2）以點P為圓心，t個單位長度為半徑畫圓．
①當⊙P與直線AB第一次相切時，求出點P坐標，并判斷此時⊙P與x軸的位置關系，并說明理由．
②設⊙P與直線MP交于E、F（E左F右）兩點，當△QEF為直角三角形時，求t的值．

Answer 1

解：（1）點P（7-2t，1），Q（5-t，t）；


（2）①當⊙P與直線AB第一次相切時，則點P到直線AB的距離（7-2t-5+t）=t，
解得t=，
則點P（，1），
此時⊙P與x軸相離；


②根據題意，得E（7-3t，1），F（7-t，1）．
要使△QEF為直角三角形，
①若EF是斜邊：
根據勾股定理，得（2-t）²+2（1-t）²+（2-t）²=4t²，
解得t=．
②若QE是斜邊：（-4）²+4t²=（t-4）²，解得t=；
③若QF是斜邊：4t²+（-4）²=（-4）²，解得t=5．
分析：（1）點P的縱坐標是1，橫坐標即為點M的橫坐標減去運動的路程；點Q的坐標運用解直角三角形的知識求解；
（2）①根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑可以求得t的值，再進一步判斷此時⊙P與x軸的位置關系；
②分別表示點E和點F的坐標，根據勾股定理的逆定理求解即可．
點評：此題綜合運用了直角梯形的性質、解直角三角形的知識、直線和圓的位置關系與數量之間的聯系等，綜合性較強．